Ableitung von f(x)=g(x)*h(x)*k(x) - OnlineMathe - das mathe-forum (2024)

Hallo liebes Forum,

wie leite ich denn die Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{h<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{k<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ ab?

Bräuchte mal ein Tipp wie ich dabei am besten vorgehe?

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

leite erstmal mit der produktregel

${\displaystyle \mathrm{u<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\cdot \mathrm{h<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$

ab und nutze das ergebnis dann fuer die ableitung von

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{u<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\cdot \mathrm{k<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$

was du nochmal mit der produktregel ableiten musst

Ah danke schonmal, wusste nicht das ich das nach der Produktregel machen kann. Mein Ergebnis: ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}={\mathrm{g<mspace></mspace>}}^{\prime \prime }*\mathrm{h<mspace></mspace>}*\mathrm{k<mspace></mspace>}+2({\mathrm{g<mspace></mspace>}}^{\prime }*{\mathrm{h<mspace></mspace>}}^{\prime }*\mathrm{k<mspace></mspace>})+\mathrm{g<mspace></mspace>}*{\mathrm{h<mspace></mspace>}}^{\prime \prime }*\mathrm{k<mspace></mspace>}+{\mathrm{g<mspace></mspace>}}^{\prime }*\mathrm{h<mspace></mspace>}*{\mathrm{k<mspace></mspace>}}^{\prime }+\mathrm{g<mspace></mspace>}*{\mathrm{h<mspace></mspace>}}^{\prime }*{\mathrm{k<mspace></mspace>}}^{\prime }}$

jetzt nur von x also (x) überall weggelassen um es einfacher zulesen. Stimmt mein Ergebnis?

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}=\mathrm{u<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{k<mspace></mspace>}+\mathrm{u<mspace></mspace>}\mathrm{k<mspace></mspace>}\text{'}}$

setze jetzt fuer ${\displaystyle \mathrm{u<mspace></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{u<mspace></mspace>}\text{'}}$ die oberen ergebnisse ein

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}=(\mathrm{g<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{h<mspace></mspace>}+\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\text{'})\mathrm{k<mspace></mspace>}+\left(\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\right)\mathrm{k<mspace></mspace>}\text{'}}$

ausmultiplizieren

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}=\mathrm{g<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{h<mspace></mspace>}\mathrm{k<mspace></mspace>}+\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{k<mspace></mspace>}+\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\mathrm{k<mspace></mspace>}\text{'}}$

der strich wandert also von buchstabe zu buchstabe ;-)

und dann ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}=\mathrm{u<mspace></mspace>}\cdot \mathrm{k<mspace></mspace>}}$ ableiten

f'=u'k+uk' und jetzt für ${\displaystyle \mathrm{u<mspace></mspace>}}$ bzw. ${\displaystyle \mathrm{u<mspace></mspace>}\text{'}}$ die obigen Ergebnisse einsetzen:

f'=(g'h+gh')*k+(g*h)*k'

ausmultipliziert:
${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}=\mathrm{g<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{h<mspace></mspace>}\mathrm{k<mspace></mspace>}+\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\text{'}\mathrm{k<mspace></mspace>}+\mathrm{g<mspace></mspace>}\mathrm{h<mspace></mspace>}\mathrm{k<mspace></mspace>}\text{'}}$

EDIT: Ok, dachte MokLok wäre schon im Bett ;-)

lg

Ach Mist :P hast recht deins erscheint eindeutig logischer :D

Danke schonmal, wie wäre es dann mit der Ableitung von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$?

Ich habe ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*(2*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right))+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ raus, ist das korrekt?

Es sollten sich also drei Summanden ergeben.

Habe ich doch gemacht habe aber ein Fehler drin, habe irgendwo falsch abgeleitet, habe jetzt nochmal gerechnet und komme auf:${\displaystyle {\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*{\mathrm{cos<mspace></mspace>}}^2\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*-\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$

Jetzt korrekt? :P

Ja super dann danke ich euch schonmal viel mals! Ihr habt mir super, schnell und verständlich geholfen :)

Ja vereinfachen würde gehen, warte ich probiers mal: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*{\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}^2+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*-\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*{\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}^2+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*-\mathrm{sin<mspace></mspace>}{\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}^2={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*({\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}^2-{\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}^2)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*(-1)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)-{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}}$

Wäre das korrekt?

Kann mir vllt einer von euch auch bei dieser Aufgabe helfen:

a)Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale einer differenzierbaren Funktion f an einem Punkt einr Kurve.

b) Berechen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale der Kurve ${\displaystyle \mathrm{y<mspace></mspace>}=1+\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ am Punkt ${\displaystyle ({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0}$

Wenn ich richtig mit meiner Annahme bin, bestimmt man mit der Tangente an einer Funktion die Steigung in dem Punkt wo ich die Tangente anlegen, korrekt? Da in der a) keine genaue Funktion genannt ist weiß ich nicht was ich da berechnen soll?

Vielmehr könntest Du den ${\displaystyle {cos}^2}$ durch ${\displaystyle 1-{sin}^2}$ ersetzen:

${\displaystyle {\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}\cdot sin\cdot cos+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}(1-{sin}^2)-{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}{sin}^2}$

${\displaystyle ={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}sin\cdot cos+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}(1-2{sin}^2)}$

${\displaystyle ={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}(1-2{sin}^2+sin\cdot cos)}$

Was die andere Frage betrifft hast Du recht: Ohne konkrete Angaben der Funktion und des Punktes kann man keine Tangente und Normale berechnen.

Mhhh hab grad mal cos²-sin² in mein Taschenrechner eingegebn und der sagt das ist 1, somit könnte ich doch die -1 mit 1 korrigieren und es müsste doch ${\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)={\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}*\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)*\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+{\mathrm{e<mspace></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace></mspace>}}$ sein oder rechnet mein TR falsch?

Hatte meine vorherige Antwort nochmal bearbeitet und weiß nicht ob das gelesen hast:

a)Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale einer differenzierbaren Funktion f an einem Punkt einr Kurve.

b) Berechen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale der Kurve ${\displaystyle \mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=1+\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)}$ am Punkt ${\displaystyle ({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$

Wenn ich richtig mit meiner Annahme bin, bestimmt man mit der Tangente an einer Funktion die Steigung in dem Punkt wo ich die Tangente anlegen, korrekt? Da in der a) keine genaue Funktion genannt ist weiß ich nicht was ich da berechnen soll? Aber bei der b) könnte man ja was berechnen nur weiß ich nicht wie ich anfangen soll...

Um die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt der Kurve zu bestimmen, brauchst Du die 1. Ableitung der Funktion an dieser Stelle. Damit hast Du die Steigung ${\displaystyle \mathrm{m<mspace></mspace>}}$ der Tangentengleichung ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{m<mspace></mspace>}\mathrm{x<mspace></mspace>}+\mathrm{t<mspace></mspace>}}$.

Die Normale steht senkrecht auf der Tangente, hat also die Steigung ${\displaystyle -\frac{1}{\mathrm{m<mspace></mspace>}}}$

Wieso Winkel Null? Selbst da zeigt mein TR cos²(0)-sin²(0)=1 bei cos²(30)-sin²(30)=0,5 ich habe aber cos²(x)-sin²(x) eingegeben und habe 1 raus bekommen. Da es aber nun bei 30&deg; auf 0,5 geht kann ich dies also nicht so zusammenfassen und muss es so machen wie du es vorgemacht hast?

Deine weitere Erklärung zu der anderen Aufgabe gilt das für die a) oder b)?

zur b) y=1+sin(2x)=1+sin(2*0)=1 wenn ich das jetzt in t(x)=mx+t einsetze bekomme ich 1=0+t daraus folgt: t=1 oder gehe ich grad den total falschen Weg? :P

Meine weitere Erklärung gilt sowohl für ${\displaystyle \mathrm{a<mspace></mspace>})}$ als auch für ${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$. Allerdings kannst Du nur bei ${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>})}$ konkret rechnen.

Für ${\displaystyle \mathrm{b<mspace></mspace>}}$ musst Du zunächst einmal die erste Ableitung bilden, und erst danach dann den ${\displaystyle \mathrm{x<mspace></mspace>}}$ Wert des Tangentenpunktes einsetzen und die Steigung ${\displaystyle \mathrm{m<mspace></mspace>}}$ ausrechnen.

Damit Du die vollständige Tangentengleichung ermitteln kannst musst Du nun auch den y-Wert der Funktion (nun nicht mehr ihrer Ableitung) ermitteln. Diesen setzt Du dann in Deine Tangentengleichung ein: ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0=\mathrm{m<mspace></mspace>}{\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0+\mathrm{t<mspace></mspace>}}$. ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0}$ und ${\displaystyle {\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0}$ sind die Koordinaten des Punktes, an dem die Tangente angelegt wird, ${\displaystyle \mathrm{m<mspace></mspace>}}$ war die Steigung der Funktion bei ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0}$ und damit kannst Du ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace>}}$ ausrechnen.

So, und wenn Du nicht gerade auf eine high school in Kalifornien gehst, dann solltest Du jetzt allmählich ins Bett gehen, sonst träumst Du noch von Mathe ;-)

Recht haste, danke dir für deine Mühe :)

Werd jetzt erstmal schlafen und morgen mir die Aufgabe nochmal anschauen ;)

Gute Nacht

So glaub hab von Mathe geträumt und glaube weiß jetzt wie ich das folgende berechne:

a)Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale einer differenzierbaren Funktion f an einem Punkt einr Kurve.

b) Berechen Sie die Gleichung der Tangente und der Normale der Kurve ${\displaystyle \mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}=1+\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)}$ am Punkt ${\displaystyle ({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0,{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)\text{?}}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$

zu a) geht nicht, keine genauen Daten gegeben.

zu b) Tangente:

1. Punkt auf der Funktion $\mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+1$ am $\mathrm{P<mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)$ mit ${\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0$

$\mathrm{y<mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+1=\mathrm{sin<mspace></mspace>}(2*0)+1=1\Rightarrow {\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0=1$

2. Steigung der Tangente an der Stelle ${\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0$ bestimmen:

${\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(0\right)={\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)={\mathrm{y<mspace></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}(2*0)=1$

3. Tangentengleichung im Punkt $\mathrm{P<mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)$ bestimmen:

$\mathrm{P<mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)$=$\mathrm{P<mspace></mspace>}\left(0\right|1)$ einsetzen in t:y

$\mathrm{t<mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace>}+\mathrm{b<mspace></mspace>}$

$\mathrm{t<mspace></mspace>}:1=1*0+\mathrm{b<mspace></mspace>}$

$\mathrm{t<mspace></mspace>}:1=0+\mathrm{b<mspace></mspace>}$

$\mathrm{t<mspace></mspace>}:\mathrm{b<mspace></mspace>}=1$

4. Steigung und Achsenabschnitt einsetzen in t:y

Lösung: $\mathrm{t<mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace>}=1*\mathrm{x<mspace></mspace>}+1=\mathrm{x<mspace></mspace>}+1$

Normale:

1. Steigung der Tangente an der Stelle ${\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0$ bestimmen:

${\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(0\right)={\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)={\mathrm{y<mspace></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}(2*0)=1$

2. Steigung der Normale an der Stelle ${\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0$ bestimmen:

${\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace>}}=-\frac{1}{{\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}=-\frac{1}{1}=-1$

3. Punkt auf der Funktion $\mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+1$ am $\mathrm{P<mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)$ mit ${\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0$

$\mathrm{y<mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+1=\mathrm{sin<mspace></mspace>}(2*0)+1=1\Rightarrow {\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0=1$

$\mathrm{P<mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace>}}_0)$=$\mathrm{P<mspace></mspace>}\left(0\right|1)$

4. Normalengleichung in P(0|1) bestimmen:

$\mathrm{n<mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace>}+\mathrm{c<mspace></mspace>}$

$\mathrm{n<mspace></mspace>}:1=-1*0+\mathrm{c<mspace></mspace>}$

$\mathrm{n<mspace></mspace>}:\mathrm{c<mspace></mspace>}=1$

5. Steigung und Achsenabschnitt einsetzen in n:y

Lösung: $\mathrm{n<mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace>}=-1*\mathrm{x<mspace></mspace>}+1$

Ist das korrekt berechnet?

zum Anderen: Deine Ableifung von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=sin\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)+1}$ ist inkorrekt. Stichwort "Nachdifferenzieren" bzw. Kettenregel. Du musst die in ${\displaystyle cos\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ verketteten Funktionen ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=cos\left(\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\right)}$ und ${\displaystyle \mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace></mspace>}}$ differenzieren.

zum Dritten: Die Normale fehlt noch.

Ansonsten: alles perfekt ;-)

Ah ok: Nachdifferenzieren war doch Ableitung von dem 1. Term und ableitung vom 2. Term, also:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{sin<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\Rightarrow {\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(\mathrm{g<mspace></mspace>}\right(\mathrm{x<mspace></mspace>}\left)\right)\mathrm{m<mspace></mspace>}\mathrm{i<mspace></mspace>}\mathrm{t<mspace></mspace>}\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace></mspace>}\Rightarrow {\mathrm{g<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2}$ daraus folgt: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\right)}$

Korrekt?

Eingesetzt in meine vorherigen Rechnungen:

a) Die Gleichung der Tangente berechne ich indem den Punkt auf der Funktion y=f(x) und die Steigung der Tangente ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}}$ an der Stelle x=... bestimme. Mit diesen Daten kann ich den Achsenabschnitt b bestimmen indem ich den Punkt (x|y) in die Tangentengleichung ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$ einsetze und nach b auflöse. Die Steigung ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}}$ und den Achsenabschnitt b muss ich dann in die Tangentengleichung ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$ einsetzen. Um die Normale zu berechnen, muss ich die Steigung der Normalen ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace>}}=-\frac{1}{{\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}}$ im Punkt (x|y) durch die Steigung der Tangente ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}}$ bestimmen. Dann muss den Achsenabschnitt der Normalen c durch einsetzen des Punktes (x|y) in der Normalengleichung ${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+\mathrm{c<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$ bestimmen. Diese Werte des Steigung ${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace>}}}$ und dem Achsenabschnitt c dann in die Normalengleichung einsetzen.

zu b) Tangente:

1. Punkt auf der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)+1}$ am ${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$

${\displaystyle \mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)+1=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}(2*0)+1=1\Rightarrow {\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=1}$

2. Steigung der Tangente an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$ bestimmen:

${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(0\right)={\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)={\mathrm{y<mspace></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\right)=0,9995\approx 1}$

3. Tangentengleichung im Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$ bestimmen:

${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$=${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(0\right|1)}$ einsetzen in t:y

${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:1=1*0+\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:1=0+\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{b<mspace></mspace><mspace></mspace>}=1}$

4. Steigung und Achsenabschnitt einsetzen in t:y

Lösung: ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=1*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+1=\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+1}$

Normale:

1. Steigung der Tangente an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$ bestimmen:

${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace>}}\left(0\right)={\mathrm{f<mspace></mspace>}}^{\prime }\left(0\right)={\mathrm{y<mspace></mspace>}}^{\prime }=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=\mathrm{cos<mspace></mspace>}\left(2\right)=0,9995\approx 1}$

2. Steigung der Normale an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$ bestimmen:

${\displaystyle {\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}}=-\frac{1}{{\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{t<mspace></mspace><mspace></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)}=-\frac{1}{1}=-1}$

3. Punkt auf der Funktion ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)=\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)+1}$ am ${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$ mit ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=0}$

${\displaystyle \mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(2\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}\right)+1=\mathrm{sin<mspace></mspace><mspace></mspace>}(2*0)+1=1\Rightarrow {\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0=1}$

${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left({\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0\right|{\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_0)}$=${\displaystyle \mathrm{P<mspace></mspace><mspace></mspace>}\left(0\right|1)}$

4. Normalengleichung in P(0|1) bestimmen:

${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}={\mathrm{m<mspace></mspace><mspace></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}}*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+\mathrm{c<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}:1=-1*0+\mathrm{c<mspace></mspace><mspace></mspace>}}$

${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{c<mspace></mspace><mspace></mspace>}=1}$

5. Steigung und Achsenabschnitt einsetzen in n:y

Lösung: ${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace><mspace></mspace>}:\mathrm{y<mspace></mspace><mspace></mspace>}=-1*\mathrm{x<mspace></mspace><mspace></mspace>}+1}$

Jetzt korrekt beschrieben und berechnet?

Die Ableitung von ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=sin\left(\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\right)}$ ist ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=cos\left(\mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\right)\cdot \mathrm{g<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$

Und weil ${\displaystyle \mathrm{g<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace></mspace>}}$ ist ${\displaystyle \mathrm{g<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2}$. Nun stze das in ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ ein und Du erhältst:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=cos\left(2\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)\cdot 2}$

Somit ist ${\displaystyle \mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)}$ an der Stelle ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace></mspace>}}_0=0:\mathrm{f<mspace></mspace>}\text{'}\left(0\right)=cos(2\cdot 0)\cdot 2=1\cdot 2=2}$

Deine Tangente verändert sich in diesem Fall nur in der Steigung, aber nicht in der Lage: ${\displaystyle \mathrm{t<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=2\mathrm{x<mspace></mspace>}+1}$

Und auch die Normale verändert sich nur nach: ${\displaystyle \mathrm{n<mspace></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace></mspace>}\right)=-\frac{1}{2}\mathrm{x<mspace></mspace>}+1}$

Ich habe mal eine Zeichnung angehängt.

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Ah super...jetzt habe ich es komplett verstanden!

Vielen Dank, für die Hilfe und genaue Erklärungen :)